Ở bài viết này, chúng ta sẽ tổng hợp một số dạng bài tập nguyên hàm đặc trưng theo chương trình toán lớp 12. Đây là một nguồn tài liệu hữu ích để các bạn học sinh có thể tham khảo và rèn kỹ năng làm bài nguyên hàm.
Tổng hợp các dạng bài tập nguyên hàm [VerbaLearn.org]
Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm
Phương pháp giải
Bài toán 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định)
Một số công thức thường sử dụng ∫kdx = kx + C ∫kf(x)dx = k.∫f(x)dx ∫|f(x) ± g(x)|dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 4x^3 + x + 5
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 2. Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 3x^2 - 2x
Hướng dẫn giải
Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(3x^2 - 2x)dx = x^3 - x^2 + C
Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của
Hướng dẫn giải
Ta có:
Câu 5. Tính I = ∫(x^2 - 3x)(x + 1)dx
Hướng dẫn giải
Phân phối được:
Câu 6. Tính I = ∫(x - 1)(x^2 + 2)dx
Hướng dẫn giải
Phân phối được
Câu 7. Tính I = ∫(2x + 1)^5dx (công thức mở rộng)
Hướng dẫn giải
Câu 8. Tính I = ∫(2x - 10)^2020dx
Hướng dẫn giải
Câu 9. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 4×^3 - 4x + 5 thỏa mãn F(1) = 3
A. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1 B. F(x) = x^4 - 4x^2 + 5x + 1 C. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 3 D. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 5
Hướng dẫn giải
Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(4x^3 - 4x + 5)dx = x^4 - 2x^2 + 5x - C
Theo đề bài, ta có: F(1) = 3 ⇔ 1^4 - 2.1^2 + 5.1 + C = 3 ⇔ C = -1
Do đó: F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm F(a) ta chỉ cần thế x = a vào F(x) sẽ tìm được F(a). Chẳng hạn, tính F(2), ta thế x = 2 vào F(x), nghĩa là F(2) = 2^4 - 2.2^2 + 5.2 - 1 = 17
⟹ Chọn A
Câu 10. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x^2 + 2x + 5 thỏa mãn F(1) = 4
A. F(x) = x^3 - x^2 + 5x - 3 B. F(x) = x^3 + x^2 + 5x - 3 C. F(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 D. F(x) = x^3 + x^2 + 5x + 3
Hướng dẫn giải
∫f(x)dx = ∫(3x^2 + 2x + 5)dx = x^3 + x^2 + 5x + C
F(1) = 4 ⇒ 1 + 1 + 5 + C = 4 ⇔ C = -3
Vậy F(x) = x^3 + x^2 + 5x - 3
⟹ Chọn B
Câu 11. Hàm số f(x) = -5x^4 + 4x^2 - 6 có một nguyên hàm F(x) thỏa F(3) = 1. Tính F(-3)
A. F(-3) = 226 B. F(-3) = -225 C. F(-3) = 451 D. F(-3) = 225
Hướng dẫn giải
Do đó F(-3) = 451
⟹ Chọn C
Câu 12. Hàm số f(x) = x^3 + 3x + 2 có một nguyên hàm F(x) thỏa F(2) = 14. Tính F(-2)
A. F(-2) = 6 B. F(-2) = -14 C. F(-2) = -6 D. F(-2) = 14
Hướng dẫn giải
Do đó F(-2) = 6
⟹ Chọn A
Câu 13. Hàm số f(x) = (2x + 1)^3 có một nguyên hàm F(x) thỏa . Tính
A. P = 32 B. P = 34 C. P = 18 D. P = 30
Hướng dẫn giải
Do đó
⟹ Chọn B